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これより下はまだ工事中!
危険です!

脚注)

(*)なぜこのような関数になるのかを考えてみます。

正弦波

u(x,t) = Asin{ k(x-vt)+φ}  (a)

で、t を固定して x だけの関数とみれば、これは x が 2π/k だけ変わるごとに同じ値をとるから

λ = 2π/k

という波長の波を表している。kを波数とよぶ。vは波の進む速さをあらわすが、詳しく言うときには波の位相速度とよぶ。

kv = ωとかくと

u(x,t) = Asin( kx-ωt+φ)

となる。



三次元直交座標系 (o-xyz) の原点に音源があるとする。
この場合、三次元空間に広がった媒質中の波の場合は位置を指定するには3つの変数x, y, zがいる。
原点からの距離をrとするとであるから、このrの関数をxで偏微分(y,zを固定)すると



となる。したがって





である。

これを使って計算すると



となることが示される。

上の結果を用いると、k=ω/v としたとき

………(b)

は三次元の波動方程式



の1つの解になっていることがわかる。(原点を除く)

ある瞬間にtの位相( kr-ωt+φ)が一定になるのはが一定の面、つまり原点を中心とした球面である。
したがって上の式(b)は一つの球面波を表す。
tが変わると波面は速さ v = ω/k で外向きに広がっていく。その場合の振幅はA/rで表され、原点からの距離に逆比例して減少する。

さて、ここで管楽器の考察に戻ると、上の (b) 式において、まず音源から出る音の振幅を A = 1/2 位相 φ = 0 とします。
音源からでる音の波長を2πとすると k = 1
すると波の式は (1/2r)×sin(r-ωt)で表してよいことがわかります。
このとき、管の開口端は自由端だから、帰ってくる波と音源から出る波の位相は同じになっています。
よって円錐管の中にできる定常波は
(1/2r)×sin( r-ωt)+(1/2r)×sin( r-ωt)=1/r×sin( r-ωt)になります。
これを表したのが上の方にある図Aです。



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